¿que es una función?
En matemática, una función (f) es una relación entre
un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto
de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada
elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
Dominio y rango de una
función
Como ya vimos, el dominio de una función es
el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir,
son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).
Por ejemplo la función f(x) = 3x2 –
5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número
real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números
reales.
En cambio, la función tiene como dominio todos los
valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque
pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en
qué intervalo está comprendida.
Si el dominio no se específica, debe entenderse que el
dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene
sentido.
En el caso de la función , el dominio
de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya
que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la
raíz cuadrada.
Como resumen, para determinar el dominio de una
función, debemos considerar lo siguiente:
Si la función tiene radicales de índice par, el
dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la
cantidad sub-radical sea mayor o igual a cero.
Si la función es un polinomio; una función
de la forma f(x) = a0 + a1x
+ a2x2 +...+ anxn (donde a0,
a1, a2,..., an son constantes
y numero entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto
de todos los números reales.
Si la función es racional; esto es, si es el cociente
de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para
los cuales el denominador sea diferente de cero.
El rango (recorrido o ámbito) es
el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado
por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores
están determinados además, por el dominio de la función.
Ejemplo
Identificar dominio y rango de la función
Veamos:
Como la función tiene radicales el dominio está
conformado por todos los valores para los cuales x – 2 ≥ 0.
Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o
iguales a 2.
El rango es igual al conjunto de los números reales
positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio
se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f.
limite de una función
El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático,
un caso de límite aplicado
a las funciones.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos
suficientemente cercanos a c,
independientemente de lo que ocurra en c.
derivada de una función
Una
función es derivable en un conjunto si es derivable en todos los puntos de
dicho conjunto.
Si una función (f,D) es derivable en un subconjunto D´ de su dominio D, es posible definir una nueva función que asocia a cada número real de D´ la derivada de fen ese punto:
Si una función (f,D) es derivable en un subconjunto D´ de su dominio D, es posible definir una nueva función que asocia a cada número real de D´ la derivada de fen ese punto:
La función así definida se llama función
derivada o, simplemente, derivada de f. Se nota por f´ o
también por Df(x).
De la misma forma, a partir de la derivada primera se puede definir, si existe, su derivada, y que recibe el nombre de derivada segunda:
De la misma forma, a partir de la derivada primera se puede definir, si existe, su derivada, y que recibe el nombre de derivada segunda:
Y así sucesivamente las demás.
continuidad de una función
Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x)
= f(a).
Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y
debe ser igual a f(a).
Ejemplos de discontinuidad
f(x)= 1/x2
f(x) = x2 si x <= 2
2x - 4 si x > 2
Discontinua en x=2.
Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pueslimx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0
Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero
menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por
la izquierda".
