definicion

Definición

George Cantor, uno de los fundadores de la teoría de conjuntos, dio la siguiente definición de conjunto:³

[...] entiendo en general por variedad o conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley.

Los elementos o miembros de un conjunto pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas.

Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elementos son el mismo conjunto, A = B.

A y B tienen los mismos elementos si cada elemento de A es elemento de B y cada elemento de B pertenece a A.

Por Extensión y por Comprensión

Un conjunto queda perfectamente definido si se conocen con exactitud los elementos que lo integran o que pertenecen a él; es decir, si se nombran todos sus elementos o bien si se usa un enunciado o propiedad que lo identifique. Independientemente de la forma en que se lo represente, siempre se usa una letra mayúscula que lo define. Esta letra mayúscula representa a un conjunto específico de elementos.

Existen dos maneras de definir un conjunto dado:

a) Por extensión o enumeración: se define nombrando a cada elemento del conjunto.

b) Por comprensión: se define mediante un enunciado o atributo que representa al conjunto (se busca una frase que represente a la totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en particular).

Por comprensión	Por extensión
A = {Números dígitos}	A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {Números pares]	B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
C = {Múltiplos de 5}	C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...}

relación de conjuntos

Pertenencia

La relación clave en un conjunto es la pertenencia: cuándo es un elemento miembro de un conjunto. Si a es un miembro de B, se denota por a ∈ B,⁴ y si no lo es, se denota por a ∉ B. Por ejemplo, respecto a los conjuntos A, B y F de la sección anterior, podemos decir:

4 ∈ A, 36 ∈ F, verde ∈ B, pero

7 ∉ A, 8 ∉ F, azul ∉ B

Y se dice entonces que 4 pertenece al conjunto A, 4 es un miembro de A, 4 está en A o A contiene 4.

¿Qué es la relación de pertenencia?

Es la relación que existe entre un elemento y un conjunto, así, un elemento pertenece al conjunto, y se representa de esta forma.

Ejemplo, A = {x/x es dedo de la mano}

B= índice, entonces

B  A

Cuando un elemento no esta en el conjunto dicho elemento no pertenece al conjunto, y se representa de la siguiente manera

Ejemplo, A = {x/x es mes del año}

B= índice, entonces

B  A

determinación de conjuntos

Un conjunto se puede determinar de dos maneras: por extensión y por comprensión.

Determinación de un conjunto por extensión 
Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos.

Ej. - El conjunto de los números naturales menores que 9.


Determinación de un conjunto por comprensión 
Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos.

Ej. - El conjunto formado por las letras vocales del abecedario.

diagrama de venn

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos. Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están contenidos en B.

tipos de conjunto

Conjunto finito: en este conjunto los elementos o miembros que los conforman pueden ser enumerados o contados. Por ejemplo, el agrupamiento de todas las letras del abecedario confirmaría un conjunto de esta clase.

Conjunto infinito: en estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados ni contados. Un ejemplo de conjunto infinito sería todos los granos de arena del planeta.

Conjunto unitario: estos conjuntos están conformados por un solo miembro o elemento, por ejemplo, la letra A.

Conjunto vacío: estos conjuntos carecen de elementos o bien, estos son inexistentes, por ejemplo un unicornio, en el caso del elemento inexistente.

Conjunto referencial: a este conjunto también se la conoce como universal y se caracterizan por estar conformados por los miembros de todos los elementos que forman parte de la caracterización. Por ejemplo: el conjunto A esta compuesto de 1,3, 5, 7 y el B por 2, 4, 6. Mientras que el conjunto universal es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Conjuntos disyuntivos: estos conjuntos no poseen ningún elemento o miembro que coincida. Esto también se lo puede expresar diciendo que la intersección entre los conjuntos disyuntivos es el conjunto vacío. Por ejemplo el grupo A contiene los elementos a, b, c, d mientras que el B e, f, g, h. Los conjuntos A y B entonces no tienen ningún elemento en común.

Conjuntos equivalentes: son aquellos conjuntos que poseen el mismo número cardinal, lo que significa que contienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo el conjunto A es 1, 2, 3, 4 y el B a, b, c, d, por tanto A y B son equivalentes.

Conjuntos iguales: esto se da cuando dos o más conjuntos contienen iguales elementos. Por ejemplo el conjunto A es 2, 4, 6, 8 y el B es 8, 6, 4, 2. Ambos conjuntos son iguales por que poseen los mismos elementos, sin importar su orden.

Conjuntos congruentes: aquí pertenecen aquellos conjuntos numéricos cuyos respectivos miembros se corresponden uno a uno de modo que la distancia entre ellos se conserve, por ejemplo: el conjunto A es: 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 7, 9, 11, 13, 15. De esta manera, 10 y 15, 8 y 13, 6 y 11, 4 y 9, 2 y 7 mantienen entre sí una distancia de 5.

Conjuntos no congruentes: en estos conjuntos, en cambio, no se establece correspondencia alguna entre sus miembros, por lo que la distancia entre los elementos es inconstante. Por ejemplo, el conjunto A es 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 4, 5, 6, 7, 8.

Conjuntos homogéneos: en estos conjuntos los elementos o miembros que los componen responden al mismo género o tipo. Por ejemplo el conjunto A que contiene los elementos 1, 5, 3, 7, 6, 8. Aquí todos sus elementos son números por lo que conforman un conjunto homogéneo.

Conjuntos heterogéneos: estos conjuntos están compuestos por elementos que corresponden a distintos tipos, géneros o clases, por ejemplo, el conjunto A es 2, j, perro, azul.

relaciones de conjuntos

Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B, sí y sólo sí, todo elemento de A es también elemento de B

NOTACIÓN

Se lee: A esta incluido en B, A es subconjunto de B, A esta contenido en B, A es parte de B.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA:

intersección de conjuntos

En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D:

P = {2, 4, 6, 8, 10,...}

C = {1, 4, 9, 16, 25,...}

D = {4, 16, 36, 64,...}

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.

Propiedades

Artículo principal: Álgebra de conjuntos.

De la definición de intersección puede deducirse directamente:

§  Idempotencia. La intersección de un conjunto A consigo mismo es el propio A : A ∩ A = A §  La intersección de Ay B es un subconjunto de ambos: A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B §  La intersección de un conjunto B con un conjunto A que lo contenga, deja a B inalterado: B ⊆ A implica A ∩ B = B

La intersección de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:

§  Propiedad asociativa. La intersección de los conjuntos A y B ∩ C es igual a la intersección de los conjuntos A ∩ B y C : (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) §  Propiedad conmutativa. La intersección de los conjuntos A y B es igual a la intersección de los conjuntos B y A : A ∩ B = B ∩ A. §  Elemento absorbente. La intersección de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es ∅: A ∩ ∅ = ∅

Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la conjunción lógica.

En relación con la operación de unión existen unas leyes distributivas:

Propiedad distributiva §  A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), y por tanto: §  A ∪ (A ∩ B) = A §  A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y por tanto: §  A ∩ (A ∪ B) = A

Teoría axiomática

En las teorías axiomáticas de conjuntos usuales, como ZFC o NBG, la existencia de la intersección de una familia de conjuntos no se postula de manera independiente, sino que se demuestra como consecuencia del esquema axiomático de reemplazo.