Caso I - Factor común
¿Por qué se llama "Factor
común"?
Por que en general el Caso se aplica cuando en todos los términos hay un "factor
común".
¿Pero qué es un "factor común"?
Es "algo" (número, letras, una "expresión
algebraica") que está multiplicando en todos los términos. Tiene que estar
en todos los términos, por eso es "común" (común a todos). Y
recordemos además que, en una multiplicación, se les llama "factores"
a los números que están multiplicándose. De ahí vienen las dos palabras:
"factor" y "común".
Por ejemplo, en 2.a + 2.b + 2.c, está el factor común "2"; porque en
todos los términos está multiplicando el número 2. En 5a + 7a + 4a, está el
factor común "a"; porque en todos los términos está multiplicando la
letra "a".
Pero no siempre es tan fácil identificar al factor común como en esos dos
ejemplos, ya que en los términos puede haber números diferentes o letras con
distinto exponente, y el factor común puede estar "oculto" entre
ellos. En los ejercicios resueltos de esta misma página presento una variedad
de situaciones en donde hay factor común, y explico cómo identificarlo. Y para
más detalle se puede entrar en los enlaces de explicación de cada ejemplo.
Factor común monomio
Factor común por agrupación de términos
y si solo si el polinomio es 0
y el tetranomio nos da x.
Factor común monomio: es el factor
que está presente en cada término del polinomio:
Ejemplo N°°° 1: ¿cuál es el factor
común monomio en 12x + 18y - 24z?
Entre los coeficientes es el
6, o sea, 6·2x + 6···3y - 6· 4z = 6(2x + 3y -
4z)
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor
común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor
exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un
término, sino con dos.
Un ejemplo:
Se aprecia claramente que se está
repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común.
El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
La respuesta es:
En algunos casos se debe utilizar el
número 1, por ejemplo:
Se puede utilizar como:
Entonces la respuesta es:
Caso
II - Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe
tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica
porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:
Entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
Aplicamos el caso I (Factor común)
¿Por qué se llama así el caso?
Porque se toman "grupos" de términos para sacar Factor Común entre ellos.
Porque se toman "grupos" de términos para sacar Factor Común entre ellos.
¿Y por qué se eligen
"grupos" de términos?
Porque en el polinomio no hay un Factor Común para todos los términos, pero sí lo hay para algunos términos entre sí. Con estos términos que tienen factor común entre sí es que se arman los "grupos".
Porque en el polinomio no hay un Factor Común para todos los términos, pero sí lo hay para algunos términos entre sí. Con estos términos que tienen factor común entre sí es que se arman los "grupos".
Caso III
- Trinomio Cuadrado Perfecto
se identifica por tener tres términos, de los cuales
dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto
de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado
Perfecto debemos re-ordenar los términos dejando de primero y de tercero los
términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer
y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo
que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el
binomio al cuadrado.
Ejemplo 1:
Organizando
los términos tenemos
Extrayendo
la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis
separado por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
Al
verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos
que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.
¿Por qué se llama así el
caso?
"Trinomio" significa "polinomio de tres términos". Como vemos en los ejemplos, son todos polinomios de 3 términos los que factorizamos con este Caso.
Y "cuadrado perfecto" es porque se trata del "cuadrado de algo". O sea, que "algo" elevado al cuadrado (a la potencia "2"), dió como resultado ese "trinomio" que tenemos que factorizar. (¿qué es un "cuadrado"?)
Más precisamente, son el resultado de elevar al cuadrado a "binomios" (polinomios de dos términos). Como (x + 5) por ejemplo.
"Trinomio" significa "polinomio de tres términos". Como vemos en los ejemplos, son todos polinomios de 3 términos los que factorizamos con este Caso.
Y "cuadrado perfecto" es porque se trata del "cuadrado de algo". O sea, que "algo" elevado al cuadrado (a la potencia "2"), dió como resultado ese "trinomio" que tenemos que factorizar. (¿qué es un "cuadrado"?)
Más precisamente, son el resultado de elevar al cuadrado a "binomios" (polinomios de dos términos). Como (x + 5) por ejemplo.
Caso IV - Diferencia de cuadrados perfectos
Se
identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo
menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la
forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.
O en una forma más general para exponentes pares:
Y utilizando una productora podemos definir una factorización para
cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.
La factorización de la diferencia o
resta de cuadrados consiste en obtener la raíz cuadrada de cada término y representar
estas como el producto de binomios conjugados.
¿Por qué se llama
"Diferencia de Cuadrados"?
"Diferencia" se le dice a la resta (¿por qué?). Entonces, "Diferencia de Cuadrados" hace referencia a una "Resta de cuadrados". Más precisamente, una resta de dos cuadrados. Es decir, "dos cuadrados que están restándose".
Por ejemplo, en x2 - 4, tenemos al cuadrado x2 que está restando con el cuadrado 4. Es un polinomio de dos términos que se están restando, y ambos son "cuadrados".
(¿qué es un cuadrado?)
"Diferencia" se le dice a la resta (¿por qué?). Entonces, "Diferencia de Cuadrados" hace referencia a una "Resta de cuadrados". Más precisamente, una resta de dos cuadrados. Es decir, "dos cuadrados que están restándose".
Por ejemplo, en x2 - 4, tenemos al cuadrado x2 que está restando con el cuadrado 4. Es un polinomio de dos términos que se están restando, y ambos son "cuadrados".
(¿qué es un cuadrado?)
Caso V -
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados
perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea
el doble producto de sus raíces , el valor que se suma es el mismo que se resta
para que el ejercicio original no cambie.
Nótese
que los paréntesis en "(xy - xy)" están a modo de aclaración visual.
¿Por qué se llama así el
caso?
"Trinomio" significa "polinomio de tres términos". Como vemos en los ejemplos, son todos polinomios de 3 términos los que factorizamos con este Caso.
Y "cuadrado perfecto" es porque se trata del "cuadrado de algo". O sea, que "algo" elevado al cuadrado (a la potencia "2"), dió como resultado ese "trinomio" que tenemos que factorizar. (¿qué es un "cuadrado"?)
Más precisamente, son el resultado de elevar al cuadrado a "binomios" (polinomios de dos términos). Como (x + 5) por ejemplo.
"Trinomio" significa "polinomio de tres términos". Como vemos en los ejemplos, son todos polinomios de 3 términos los que factorizamos con este Caso.
Y "cuadrado perfecto" es porque se trata del "cuadrado de algo". O sea, que "algo" elevado al cuadrado (a la potencia "2"), dió como resultado ese "trinomio" que tenemos que factorizar. (¿qué es un "cuadrado"?)
Más precisamente, son el resultado de elevar al cuadrado a "binomios" (polinomios de dos términos). Como (x + 5) por ejemplo.
Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx +
c
Se identifica por tener tres
términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el
término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales
se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que
multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo
ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Ejemplo:
Ejemplo:
¿Debe
cumplir alguna condición especial el trinomio para que le pueda aplicar el Caso?
Un trinomio de segundo grado completo, con un sólo tipo de letra, siempre tiene: un término de segundo grado (por ej: "2x2"), un término de grado 1 (por ej: "-3x") y un término independiente (por ej: "1"). No hay ninguna condición especial que deban cumplir sus coeficientes (¿coeficiente?). Sin embargo, no siempre se llega a obtener una factorización. A veces no hay solución posible (en el conjunto de los números reales), entonces el trinomio queda sin factorizar. Pero a priori, en cualquier trinomio completo de grado 2 se puede intentar aplicar el Caso. Aunque es mejor fijarse primero si no es posible aplicarle el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto, ya sería más "correcto" aplicarle este Caso si correspondiera. De todos modos se llega al mismo resultado, o resultados equivalentes.
Un trinomio de segundo grado completo, con un sólo tipo de letra, siempre tiene: un término de segundo grado (por ej: "2x2"), un término de grado 1 (por ej: "-3x") y un término independiente (por ej: "1"). No hay ninguna condición especial que deban cumplir sus coeficientes (¿coeficiente?). Sin embargo, no siempre se llega a obtener una factorización. A veces no hay solución posible (en el conjunto de los números reales), entonces el trinomio queda sin factorizar. Pero a priori, en cualquier trinomio completo de grado 2 se puede intentar aplicar el Caso. Aunque es mejor fijarse primero si no es posible aplicarle el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto, ya sería más "correcto" aplicarle este Caso si correspondiera. De todos modos se llega al mismo resultado, o resultados equivalentes.
Caso VII -Trinomio de la forma ax2 + bx + c
En este
caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de
uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término
anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte
literal, así:
Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el
término independiente por el coeficiente del primer término (4x2):
Luego debemos
encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término
independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x:
Después procedemos a colocar de forma completa el
término x2 sin ser
elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos
anteriormente:
Para terminar dividimos estos términos por el
coeficiente del término x2:
Queda así terminada la
factorización:
Caso VIII
– cubo perfecto de binomios
Teniendo en cuenta que los productos notables nos
dicen que:
y
es decir que debe cumplir con las siguientes
caracterìsticas:
- Debe
tener cuatro términos.
- Que
tanto el primero como el último término sean cubos perfectos
- Que
el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado de la raíz
cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último
término.
- Que
el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último .
Raíz cúbica de un monomio:esta se obtiene
tomando la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada
letra entre 3. Factorar un expresión que es
el cubo de un binomio:
Caso IX - suma o diferencia de cubos perfectos
Para
esto debemos recordar que:
y
Tenemos que tener
en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:
- La de sus cubos perfectos se descompone en dos
factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera
raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda
raíz.
- La diferencia de dos cubos perfectos se
descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces cúbicas. 2. El
cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el
cuadrado de la segunda raíz.
Caso X - suma o diferencia de dos potencias iguales
Debemos tener en cuenta una pequeña recapitulacion de:
se divide por
y tenemos:
y obtenemos como respuesta:
- es divisible por siendo n un número par o impar
- es divisible por siendo n impar
- es divisible por siendo n par
- nunca es divisible por
se divide por
y tenemos:
y obtenemos como respuesta:
¿Por qué se llama "Suma o Resta
de Potencias de Igual Grado"?
Porque con este
Caso de pueden factorizar aquellos polinomios que sean una suma o una resta de
dos términos que sean potencias con el mismo exponente ("igual
grado").
(¿qué es el grado?) (¿qué es una potencia?)
Por ejemplo:
x5 + y5
El polinomio
precedente es una suma de potencias quintas. Son dos potencias con el mismo
exponente: 5.
x3 - 8
Este polinomio es
una resta de potencias terceras. Ya que 8 es igual a 23. Son dos potencias
con el mismo exponente: 3
a8 - 1
Este polinomio es
una resta de potencias octavas. Ya que 1 es igual a 18. Son dos potencias
con el mismo exponente: 8
Si tengo integrales como las factorizo?
ResponderEliminar