viernes, 11 de mayo de 2012

complemento de un conjunto


El conjunto complementario de un conjunto dado es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos 'C', que está formado por los números compuestos y el 1:
P = {2, 3, 5, 7, ...}
C = {1, 4, 6, 8, 9,...}
A su vez, el conjunto C es el complementario de P. El conjunto complementario se denota por una barra vertical o por el super índice "", por lo que se tiene: P = C, y también C = P.
El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.


Propiedades
Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:
U =  , =U 
Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica, la primera posee propiedades similares a la segunda:
§  Propiedad involutiva. El complementario del complementario de A es el propio A:
(A) = A
§  La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal:
A  A = U
§  Un conjunto y su complementario son disjuntos:
A  A =
§  El complementario de A está contenido en el complementario de cualquier subconjunto de A:
B  A implica que A  B
Existen también unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección a través del complemento:
Leyes de De Morgan
§  El complementario de la unión de dos conjuntos es la intersección de los complementarios:
(A  B) = A  B
§  El complementario de la intersección de dos conjuntos es la unión de los complementarios:
(A  B) = A  B

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