El conjunto
complementario de un conjunto dado
es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto
original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos
se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del
conjunto de los números primos P es el conjunto
de los números no primos 'C', que está formado por los números compuestos y el 1:
P = {2, 3,
5, 7, ...}
C = {1, 4,
6, 8, 9,...}
A su vez, el
conjunto C es el complementario de P. El conjunto
complementario se denota por una barra vertical o por el super índice "∁", por lo
que se tiene: P∁ = C, y también C = P.
El conjunto
complementario de A es la diferencia (o complementario
relativo) entre el conjunto universal y A, por lo que ambas
operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.
Propiedades
Puesto que el conjunto universal contiene todos los
elementos en consideración, y el conjunto vacío no
contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:
U∁ =
∅ ,
∅
∁ =U
Puesto que la
noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica,
la primera posee propiedades similares a la segunda:
§
Propiedad involutiva. El complementario
del complementario de A es el propio A:
(A∁)∁ = A
§
La unión de un conjunto y su complementario es el
conjunto universal:
A ∪ A∁ = U
§
Un conjunto y su complementario son disjuntos:
A ∩ A∁ = ∅
§
El complementario de A está
contenido en el complementario de cualquier subconjunto de A:
B ⊆ A implica
que A∁ ⊆ B∁
|
Existen también
unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección a través del
complemento:
Leyes de De Morgan
§
El complementario de la unión de dos conjuntos es la
intersección de los complementarios:
(A ∪ B)∁ = A∁ ∩ B∁
§
El complementario de la intersección de dos conjuntos
es la unión de los complementarios:
(A ∩ B)∁ = A∁ ∪ B∁
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