viernes, 11 de mayo de 2012

diferencia simetrica


En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica del conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados perfectos C es un conjunto D que contiene los cuadrados impares y los pares no cuadrados:
P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...}
C = {1, 4, 9, 16, 25,...}
D = {1, 2, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 18...}
La diferencia simétrica de conjuntos se denota por Δ, por lo que P Δ C = D.

Propiedades
Artículo principal: Álgebra de conjuntos.
De la definición de diferencia simétrica puede deducirse directamente:
§  Nilpotencia. La diferencia simétrica de un conjunto consigo mismo es el conjunto vacío:
A Δ A =
§  La diferencia simétrica de un conjunto y uno de sus subconjuntos es la diferencia entre ellos:
Si B  A, entonces A Δ B = A \ B
La diferencia simétrica tiene propiedades semejantes a las operaciones con números:
§  Propiedad asociativa. La diferencia simétrica de los conjuntos A y B Δ C es igual que la diferencia simétrica de los conjuntos A Δ B y C :
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)
§  Propiedad conmutativa. La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es igual a la diferencia simétrica de los conjuntos B y A :
A Δ B = B Δ A
§  Elemento neutro. La diferencia simétrica de un conjunto A con el conjunto vacío es el mismo conjunto A:
A Δ = A
Además, con respecto a la intersección existe una ley distributiva:
Propiedad distributiva
A  (B Δ C) = (A  B) Δ (A  C)
Las propiedades de la intersección y la diferencia simétrica son similares a las del producto y la suma en Z2. Esto implica que el conjunto potencia de un conjunto dado X tiene estructura de anillo considerando estas dos operaciones. Este anillo se corresponde (es isomorfo) al anillo de las funciones de X con valores en Z2, con la suma y producto punto a punto. La correspondencia asigna a cada subconjunto de X su función característica.



1 comentario:

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