diferencia de conjuntos

Diferencia de conjuntos

En teoría de conjuntos, la diferencia entre dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos aquellos en el primero de los conjuntos iniciales que no estén en el segundo. Por ejemplo, la diferencia entre el conjunto de los números naturales N y el conjunto de los números pares P es el conjunto de los números que no son pares, es decir, los impares I:

N = {1, 2, 3, 4, 5,...}

P = {2, 4, 6, 8,...}

I = {1, 3, 5, 7,...}

Como no hay ningún número par que no sea un número natural, la diferencia P menos N no tiene ningún elemento, por lo que es el conjunto vacío. La diferencia entre dos conjuntos A y B se denota por A \ B ó A − B, por lo que: N \ P = I, y también P − N = ∅.

Ejemplo.

§  Sean A = {♠, 5, z, R, 0} y B = {0, p, 9, z, Δ}. Sus diferencias son A \ B = {♠, 5, R} y B \ A = {p, 9, Δ}

§  Sean los conjuntos de números naturales P = {n: n es par} y P = {n: n es primo}. La diferencia P \ P es entonces {n: n es par y no es primo} = {n: n es par y compuesto} = {4, 8, 6,...}. Por otro lado, P \ P = {n: n es primo y no es par} = {n: n es primo e impar} = {3, 5, 7, 11,...}.

§  En la introducción se mostró que la diferencia P \ N es el conjunto vacío. Además, P \ I es igual a P: ningún número par es a la vez un número impar.

Propiedades

Artículo principal: Álgebra de conjuntos.

De la definición de la diferencia de conjuntos, puede deducirse inmediatamente:

§  Elemento neutro. La diferencia entre un conjunto y el conjunto vacío es el propio conjunto: A − ∅ = A §  La diferencia de un conjunto menos él mismo es el conjunto vacío: A − A = ∅

Estas igualdades son un caso particular de la siguiente propiedad:

§  La diferencia entre dos conjuntos es el conjunto vacío si y sólo si el primero es un subconjunto del segundo: A − B = ∅ si y sólo si A ⊆ B §  La diferencia entre dos conjuntos es igual al primer conjunto si sólo si ambos conjuntos son disjuntos: A − B = A si y sólo si A ∩ B = ∅

La intersección de dos conjuntos es la parte que tienen en común, mientras que la diferencia es la parte que no comparten. Esto se traduce en la siguiente propiedad:

Dados dos conjuntos, su intersección y su diferencia son disjuntos entre sí, pero su unión es el primero de los conjuntos iniciales: (A ∩ B) ∩ (A \ B) = ∅, pero (A ∩ B) ∪ (A \ B) = A

Esto quiere decir que la intersección y la diferencia entre A y B son una (posible) partición de A.

La diferencia de conjuntos está muy relacionada con el complemento de un conjunto:

El complemento de un conjunto es la diferencia entre el conjunto universal y él mismo: A∁ = U \ A

Es por esto que la diferencia de dos conjuntos, A menos B, se denomina también el complemento relativo de B respecto de A: A \B es el complemento absoluto de B, considerando a A como el conjunto universal. Las leyes de De Morgan y otras propiedades del complemento de un conjunto tienen entonces su contrapartida en la diferencia de conjuntos, si se tiene en cuenta que

Si se considera un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos es la intersección del primero con el complemento del segundo: A \ B = A ∩ B∁