intersección de conjuntos

En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D:

P = {2, 4, 6, 8, 10,...}

C = {1, 4, 9, 16, 25,...}

D = {4, 16, 36, 64,...}

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.

Propiedades

Artículo principal: Álgebra de conjuntos.

De la definición de intersección puede deducirse directamente:

§  Idempotencia. La intersección de un conjunto A consigo mismo es el propio A : A ∩ A = A §  La intersección de Ay B es un subconjunto de ambos: A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B §  La intersección de un conjunto B con un conjunto A que lo contenga, deja a B inalterado: B ⊆ A implica A ∩ B = B

La intersección de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:

§  Propiedad asociativa. La intersección de los conjuntos A y B ∩ C es igual a la intersección de los conjuntos A ∩ B y C : (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) §  Propiedad conmutativa. La intersección de los conjuntos A y B es igual a la intersección de los conjuntos B y A : A ∩ B = B ∩ A. §  Elemento absorbente. La intersección de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es ∅: A ∩ ∅ = ∅

Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la conjunción lógica.

En relación con la operación de unión existen unas leyes distributivas:

Propiedad distributiva §  A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), y por tanto: §  A ∪ (A ∩ B) = A §  A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y por tanto: §  A ∩ (A ∪ B) = A

Teoría axiomática

En las teorías axiomáticas de conjuntos usuales, como ZFC o NBG, la existencia de la intersección de una familia de conjuntos no se postula de manera independiente, sino que se demuestra como consecuencia del esquema axiomático de reemplazo.